Materi mapping kelas VIII SMP semester 2

Materi mapping kelas VIII SMP semester 2

BAB 1

Lingkaran

1. Pengertian Lingkaran

Benda-benda seperti jam dinding, ban mobil, uang logam merupakan contoh benda-benda berbentuk dasar lingkaran. Lihat gambar di daftar gambar

Secara geometris, benda-benda tersebut dapat digambarkan seperti pada Gambar di bawah ini .

Secara geometris, benda-benda tersebut dapat digambarkan seperti pada Gambar di bawah ini .

Memperlihatkan

(a) Bentuk geometri benda-benda pada berbentuk lingkaran

(b) Lingkaran

Perhatikan Gambar (b) dengan saksama. Misalkan A, B, C merupakan

tiga titik sebarang pada lingkaran yang berpusat di O. Dapat dilihat bahwa

ketiga titik tersebut memiliki jarak yang sama terhadap titik O. Dengan

demikian, lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang membentuk lengkungan

tertutup, di mana titik-titik pada lengkungan tersebut berjarak sama terhadap

suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut sebagai titik pusat lingkaran.

Pada Gambar (b) , jarak OA, OB, dan OC disebut jari-jari lingkaran

2. Unsur-Unsur Lingkaran

Ada beberapa bagian lingkaran yang termasuk dalam unsur-unsur sebuah

lingkaran di antaranya titik pusat, jari-jari, diameter, busur, tali busur, tembereng,

juring, dan apotema. Untuk lebih jelasnya lihat gambar di daftar gambar, dan perhatikan uaraian berikut :

Penjelasan

a. Titik Pusat

Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran.

Pada gambar , titik O merupakan titik pusat lingkaran, dengan demikian,

lingkaran tersebut dinamakan lingkaran O.

b. Jari-Jari (r)

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, jari-jari lingkaran adalah garis

dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran, jari-jari lingkaran ditunjukkan oleh garis OA, OB, dan OC.

c. Diameter (d)

Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan

lingkaran dan melalui titik pusat. Garis AB pada lingkaran O merupakan

diameter lingkaran tersebut. Perhatikan bahwa AB = AO + OB. Dengan kata

lain, nilai diameter merupakan dua kali nilai jari-jarinya, ditulis bahwa d = 2r.

d. Busur

Dalam lingkaran, busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak

pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sebarang di

lengkungan tersebut. Garis lengkung AC (ditulis AC ), garis

lengkung CB (ditulis CB ), dan garis lengkung AB (ditulis AB ) merupakan

busur lingkaran O.

e. Tali Busur

Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan

dua titik pada lengkungan lingkaran. Berbeda dengan diameter, tali busur

tidak melalui titik pusat lingkaran O. Tali busur lingkaran tersebut ditunjukkan oleh garis lurus AC yang tidak melalui titik pusat.

f. Tembereng

Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur

dan tali busur. Ttembereng ditunjukkan oleh daerah yang diarsir dan dibatasi oleh busur AC dan tali busur AC.

g. Juring

Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua

buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari

lingkaran tersebut. Jjuring lingkaran ditunjukkan oleh daerah yang diarsir yang dibatasi oleh jari-jari OC dan OB serta busur BC, dinamakan juring BOC.

h. Apotema

Pada sebuah lingkaran, apotema merupakan garis yang menghubungkan titik

pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk

bersifat tegak lurus dengan tali busur. Coba perhatikan gambar secara seksama. Garis OE merupakan garis apotema pada lingkaran O.

Keliling dan Luas Lingkaran

1. Keliling Lingkaran

Keliling lingkaran adalah panjang lengkungan pembentuk lingkaran. Bagaimana menghitung keliling lingkaran? Misalkan, diketahui sebuah lingkaran yang terbuat dari kawat. Keliling tersebut dapat dihitung dengan mengukur panjang kawat yang membentuk lingkaran tersebut. Selain dengan cara di atas, keliling sebuah lingkaran dapat juga ditentukan menggunakan rumus. Akan tetapi, rumus ini bergabung pada

sebuah nilai, yaitu π (dibaca phi). Berapakah nilai π? Untuk mengetahuinya, lakukan kegiatan berikut dengan kelompok belajarmu.

1. Siapkan bahan-bahan seperti kertas, jangka, benang kasur, dan penggaris.

2. Dengan menggunakan jangka, buatlah lima lingkaran dengan panjang

diameter yang berbeda-beda.

3. Kemudian, hitunglah keliling setiap lingkaran yang telah kamu buat.

Caranya dengan mengimpitkan benang kasur pada setiap lingkaran tadi.

4. Ukurlah panjang benang kasur tadi.

Jika kamu melakukan Kegiatan 6.1 dengan teliti, kamu akan memperoleh nilai yang sama untuk perbandingan keliling dan diameter pada setiap lingkaran. Nilai tersebut adalah 3,141592.... Inilah yang dimaksud dengan nilai π (phi). Jika

dibulatkan dengan pendekatan, diperoleh π = 3,14. Olehkarena π = 3,14 maka nilai π juga dapat dinyatakan dengan π =

sehingga keliling lingkaran dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :

K = π.d = π (2 . r)

atau

K = 2 πr

2. Luas Lingkaran

Luas lingkaran menyatakan luas daerah yang berada di dalam busur lingkaran. Mencari luas lingakaran dapat dicari dengan membuat lingkaran dan membagi 12 bagian. Bagian bagian tersebut kita potong dan di atur menyerupai bentuk persegi panjang seperti gambar di atas.

Jika kamu amati dengan teliti, susunan potongan-potongan juring tersebut

menyerupai persegipanjang dengan ukuran panjang mendekati setengah

keliling lingkaran dan lebar r sehingga luas bangun tersebut adalah

Jadi luas lingkaran = π × r2

Hubungan sudut pusat, panjang busur dan luas juring

1. Panjang Busur dan Luas Juring Lingkaran

Pada subbab sebelumnya, kamu telah mempelajari pengertian busur, juring,

dan tembereng. Sekarang, kamu akan mempelajari bagaimana menentukan

panjang busur, luas juring, dan luas tembereng.

Untuk membuktikan hubungan sudut pusat, panjang busur dan luas juring maka dapat dilakukan percobaan sebagai berikut :

1. Siapkan karton, jangka, dan spidol.

2. Buatlah sebuah lingkaran dengan jari-jari sebarang dan berpusat di titik O.

3. Potonglah lingkaran tersebut menjadi beberapa juring yang sama besar. Misalkan, lingkaran tersebut dibagi menjadi 8 juring yang sama besar

4. Amati bagian-bagian dari potongan lingkaran tersebut, mulai dari sudut pusat, luas juring, sampai dengan panjang busurnya.

Jika kamu melakukan kegiatan dengan benar, kamu akan memperoleh nilai perbandingan antara sudut pusat dengan sudut satu putaran, panjang busur dengan keliling lingkaran, serta luas juring dengan luas lingkaran adalah sama.

2. Luas Tembereng

Seperti yang telah dipelajari sebelumnya, tembereng adalah daerah yang

dibatasi oleh busur dan tali busur lingkaran. Perhatikan Gambar 6.9 . Gambar

tersebut menunjukkan lingkaran O dengan garis lurus AB sebagai tali busur

dan garis lengkung AB sebagai busur lingkaran. Daerah yang diarsir antara

tali busur AB dan busur AB disebut tembereng. Berikut ini adalah langkahlangkah

untuk menentukan luas tembereng.

a. Tentukan luas juring AOB.

b. Tentukan panjang tali busur.

c. Tentukan panjang garis apotema OC.

d. Hitung luas segitiga AOC.

Luas segitiga =× panjang tali busur AB × panjang apotema OC.

e. Hitung luas tembereng.

Luas tembereng = luas juring AOB – luas segitiga AOB,

Sudut -Sudut pada Bidang Lingkaran

Pada subbab ini, kita akan mempelajari bagaimana menentukan besarnya sudut yang dibentuk oleh dua tali busur. Akan tetapi, sebelum mempelajari materi tersebut, kamu harus memahami apa yang dimaksud dengan sudut pusat dan sudut keliling. Pelajarilah uraian berikut secara saksama.

1. Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Masih ingatkah kamu apa yang dimaksud dengan sudut pusat? Seperti yang

telah disebutkan sebelumnya, sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh

dua buah jari-jari dan menghadap suatu busur lingkaran. Sekarang, apa yang

dimaksud dengan sudut keliling? Sudut keliling adalah sudut pada lingkaran

yang dibentuk oleh dua buah tali busur.

a. Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Amati Gambar di atas secara saksama. Titik E adalah titik pusat lingkaran,

<AEC adalah sudut pusat lingkaran, <AEC adalah sudut pusat lingkaran, dan <ABC adalah sudut keliling lingkaran. Perhatikan bahwa <AEC dan <ABC menghadap busur yang sama, yaitu busur AC.

• Perhatikan segitiga ABE.

Oleh karena segitiga ABE merupakan segitiga samakaki maka <EAB = <ABE

Jadi, <AEB = 180˚ – 2 × <ABE

• Perhatikan segitiga CBE.

Oleh karena segitiga CBE merupakan segitiga samakaki maka <EBC = <BCE

Jadi, dapat ditentukan bahwa <CEB = 180˚ – 2 × <CBE

• Perhatikan sudut pusat AEC.

<AEC = 360˚ – (<AEB + <CEB)

= 360˚ – (180˚ – 2 × <ABE + 180˚ – 2 <CBE)

= 360˚ – (360˚ – 2 × <ABE – 2 <CBE)

= 360˚ – 360˚ + 2 × <ABE + 2 <CBE

= 2 × <ABE + 2 × <CBE

= 2 × (<ABE + <CBE)

= 2 × <ABC

b. Sifat Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Berikut ini akan diuraikan sifat-sifat yang dimiliki oleh sudut pusat dan sudut keliling.

1. Sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran

Pada gambar tersebut, lingkaran O memiliki diameter PQ. Dapat dilihat bahwa <POQ merupakan sudut pusat, adapun <PRQ merupakan sudut keliling yang menghadap busur PQ. Ingat, jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, maka

sudut pusat = 2 × sudut keliling

180˚ = 2 × sudut keliling

sudut keliling =

= 90˚

Hal ini menunjukkan bahwa sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran selalu membentuk sudut 90˚ atau sudut siku-siku

2. Sudut keliling yang menghadap busur yang sama

• <QOR merupakan sudut pusat lingkaran yang menghadap busur QR.

• <QTR merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap ke busur QR.

Jadi, <QTR = <QOR

• <QPR merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap ke busur QR.

Jadi, <QPR = <QOR

• <QSR merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap ke busur QR.

Jadi, <QSR = <QOR

Dari uraian berikut, diperoleh bahwa:

<QTR = <QPR = <QSR = <QOR

Jadi, dapat disimpulkan bahwa semua sudut keliling yang menghadap

busur yang sama memiliki ukuran sudut/besar sudut yang sama.

3. Sudut-sudut keliling yang saling berhadapan

Amati Gambar di samping . Perhatikan bahwa <POR merupakan sudut pusat lingkaran, sedangkan <PSR dan <PQR adalah sudut-sudut keliling

yang sama besar. Oleh karena < PSR dan < PQR merupakan sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama dengan sudut pusat <POR maka

berlaku:

• <PSR = × <POR = × y

• <PQR = × <POR = × x

Jika sudut keliling tersebut dijumlahkan, diperoleh

<PSR – < PQR = ×x y) + × x)

= × y) + × (360º-y))

= × x y) + × (360º) - × y)

= × x y) - × y) + 180º

= 180º

Jadi, dapat disimpulkan bahwa jumlah sudut keliling yang saling berhadapan

sama dengan 180°.

Sudut Antara Dua Tali Busur

a. Saling Berpotongan di Dalam Lingkaran

b. Saling Berpotongan di Luar Lingkaran

Soal luas dan keliling lingkaran

1. Sebuah lingkaran memiliki panjang diameter 35 cm. Tentukanlah:

a. panjang jari-jari,

b. keliling lingkaran.

2. Panjang jari-jari sepeda adalah 50 cm. Tentukanlah:

a. diameter ban sepeda tersebut,

b. keliling ban sepeda tersebut

3. Sebuah lingkaran memiliki diameter 14 cm. Tentukan:

a. jari-jari lingkaran,

b. luas lingkaran.

4. Jari-jari sebuah lingkaran adalah 28 cm. Tentukan:

a. diameter lingkaran

b. Luas lingkaran

5. Tunjukkan dengan gambar apa yang dimaksud dengan:

a. sudut pusat,

b. Sudut keliling