BAB 2

Garis Singgung Lingkaran

Lingkaran mungkin merupakan salah satu bentuk bangun datar yang paling terkenal. Konsep lingkaran yang meliputi unsur-unsur lingkaran, luas lingkaran, dan keliling lingkaran sudah kamu pelajari sejak Sekolah Dasar. Banyak benda-benda di sekitarmu yang tanpa kamu sadari sebenarnya menggunakan konsep lingkaran. Misalnya, rantai sepeda, katrol timba, subwoofer, hingga alat-alat musik seperti drum, banjo, dan kerincing. ada bab ini, kamu akan mempelajari salah satu konsep penting tentang lingkaran, yaitu garis singgung lingkaran.

A. Pengertian Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik tersebut dinamakan titik singgung lingkaran.

Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya.

2. Melukis Garis Singgung

Sebelum melukis garis singgung lingkaran, pastikan kamu telah memiliki jangka dan penggaris sebagai alat bantu. Perhatikan uraian berikut.

a. Garis Singgung Melalui Satu Titik pada Lingkaran

Sebelumnya telah dijelaskan bahwa garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya. Oleh karena itu, melukis garis singgung lingkaran di titik singgung P sama saja dengan melukis garis yang tegak lurus terhadap jari-jari OP. Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung lingkaran melalui

1) Langkah 1

Buatlah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari OP yang diperpanjang

hingga titik Q

2) Langkah 2

Buatlah busur dengan pusat P yang memotong ruas OP dan PQ di titik

A dan B.

3) Langkah 3

Buatlah busur dengan pusat A dan B sehingga berpotongan di titik C. Ingat, jari-jarinya harus sama.

4) Langkah 4

Hubungkan titik C dan P sehingga membentuk garis CP. Garis inilah

yang disebut garis singgung g yang melalui titik P pada lingkaran dengan

pusat O.

Lihat di daftar gambar

Ternyata, kita hanya dapat membuat satu buah garis singgung lingkaran

di titik P. Hal ini membuktikan sifat garis singgung lingkaran pada bagian sebelumnya

b. Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

Sekarang, kamu akan melukis garis singgung yang melalui titik di luar

lingkaran. Perhatikan langkah-langkah berikut dengan baik.

1) Langkah 1

Buatlah sebuah lingkaran dengan pusat O. Hubungkan O dengan titik T

yang terletak di luar lingkaran.

2) Langkah 2

Bagilah garis OT menjadi dua ruas garis yang sama panjang dengan

menempat kan titik M sebagai titik tengah, sehingga OM = MT.

3) Langkah 3

Buatlah busur lingkaran dengan pusat M dan jari-jari OM sehingga memotong lingkaran dengan pusat O di titik A dan B.

4) Langkah

Hubungkan titik A dengan T dan titik B dengan T sehingga diperoleh AT dan BT, yaitu pasangan garis singgung yang melalui titik T.

Garis Singgung Dua Lingkaran

Kamu tentu sudah sering melihat sepeda. Apabila kamu amati rantai roda sepeda, tampak bahwa rantai itu melilit dua roda bergerigi yang berbeda ukuran. Dua roda bergerigi tersebut dapat dianggap sebagai dua lingkaran dan rantai sepeda sebagai garis singgung persekutuan lingkaran.

Dengan demikian, garis singgung persekutuan dapat diartikan sebagai garis yang tepat menyinggung dua lingkaran.

1. Kedudukan Dua lingkaran

Secara umum, kedudukan dua lingkaran dapat dikelompokkan menjadi tiga jenis, yaitu dua lingkaran bersinggungan, berpotongan, dan saling lepas.

a. Dua Lingkaran Bersinggungan

Lihat daftar gambar

Gambar (a) memperlihatkan dua lingkaran yang bersinggungan di dalam. Untuk kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis singgung persekutan luar, yaitu k dengan titik singgung A.

Gambar (b) memperlihatkan dua lingkaran yang bersinggungan di luar. Dalam kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis singgung persekutuan dalam, yaitu n dan dua garis singgung persekutuan luar, yaitu l dan m.

b. Dua Lingkaran Berpotongan

Lihat daftar gambar

Dua lingkaran yang berpotongan seperti yang ditunjukkan oleh gambar mempunyai dua garis singgung persekutuan luar, yaitu r dan s.

c. Dua Lingkaran Saling Lepas

Lihat daftar gambar

Gambar tersebut memperlihatkan dua lingkaran yang saling lepas atau terpisah.

Dalam kedudukan seperti ini, dapat dibuat dua garis persekutuan luar, yaitu

k dan l dan dua garis persekutuan dalam, yaitu m dan n.

2. Garis Singgung Persekutuan Luar

a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar

Misalnya terdapat dua lingkaran saling lepas dengan pusat P dan Q serta jarijari

R dan r. Bagaimana cara melukis garis singgung persekutuan luar dari lingkaran P dan Q tersebut? Pelajarilah langkah-langkah berikut.

1) Langkah 1

Buatlah dua lingkaran dengan pusat P dan Q serta jari-jari R dan r (r <>Kemudian, hubungkan kedua titik pusatnya.

2) Langkah 2

Buatlah busur lingkaran sebarang yang berpusat di P dan Q dengann jari-jari yang sama dan panjangnya harus lebih besar dari PQ, sehingga berpotongan di titik M dan N.

3) Langkah 3

Hubungkan M dan N sehingga memotong PQ di titik T.

4) Langkah 4

Gambar lingkaran yang berpusat di titik T dengan jari-jari PT.

5) Langkah 5

Lukislah busur lingkaran yang berpusat di titik P dengan jari-jari R – r sehingga memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan B.

6) Langkah 6

Hubungkan P dengan A dan P dengan B, kemudian perpanjang kedua garis tersebut sehingga memotong lingkaran yang berpusat di P pada titik C dan D.

7) Langkah 7

Lukislah busur lingkaran dengan pusat di C dan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q di titik E. Lukislah busur lingkaran dengan pusat di D dan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q di titik F.

8) Langkah 8

Langkah terakhir adalah menghubungkan C dengan E dan D dengan F. Garis CE dan DF adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di P dan Q. Lihat daftar gambar

b. Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar

Lihat daftar gambar

• Garis AB merupakan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di P dan Q.

• R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran pertama. r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau lingkaran kedua.

• l adalah panjang garis singgung persekutuan luar AB.

• k adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q.

• SQ merupakan translasi dari AB, sehingga panjang AB = panjang SQ = l.

Panjang SP = AP – BQ = R – r.

• AB sejajar SQ sehingga – BAP = – QSP = 90˚ (sehadap)

• Sekarang, perhatikan ΔSPQ. Oleh karena – QSP = 90˚ maka kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang SQ.

ΔSPQ siku-siku di S sehingga

PQ² = SQ² + SP²

SQ² = PQ² – SP²

l² = k² – (R – r) ; R > r

l =

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah:

	l =

dengan: l = panjang garis singgung persekutuan luar

k = jarak kedua titik pusat lingkaran

R = jari-jari lingkaran pertama

r = jari-jari lingkaran kedua

3. Garis Singgung Persekutuan Dalam

a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam

Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan dalam dua

lingkaran berikut ini.

1) Langkah 1

Lukislah dua lingkaran dengan pusat P dan Q serta jari-jari masingmasing R dan r (r < R), kemudian hubungkan kedua titik pusatnya

2) Langkah 2

Buatlah busur lingkaran yang berpusat di P dan Q dengan jari-jari yang panjangnya sama dan harus lebih besar dariPQ sehingga berpotongan di titik M dan N.

3) Langkah 3

Hubungkan M dan N sehingga memotong PQ di titik T.

4) Langkah 4

Lukislah lingkaran yang berpusat di T dengan jari-jari PT.

5) Langkah 5

Lukislah busur lingkaran yang berpusat di P dan berjari-jari R + r sehingga memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan B.

6) Langkah 6

Hubungkan titik pusat P dengan A dan P dengan B sehingga memotong lingkaran dengan pusat P di titik C dan D.

7) Langkah 7

• Lukislah busur lingkaran dari C dengan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q pada titik E.

• Lukislah busur lingkaran dari D dengan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q pada titik F.

8) Langkah 8

Terakhir, hubungkan C dengan E dan D dengan F. Garis CE dan DF adalahgaris singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di P dan Q.

b. Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Dala

• Garis AB merupakan garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di P dan di Q.

• R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran pertama dan r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau lingkaran kedua.

PS = AS + AP = BQ + AP = r + R = R + r.

• d adalah panjang garis singgung persekutuan dalam AB.

• k adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q.

• SQ merupakan translasi dari AB, sehingga SQ sejajar AB dan panjang

SQ = panjang AB = d.

• Oleh karena SQ sejajar AB maka – PSQ = – PAB = 90˚.

• Sekarang perhatikan ΔPSQ.

Oleh karena ΔPSQ merupakan segitiga siku-siku dengan – PSQ = 90˚

maka kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang SQ.

PQ²= PS²+ SQ²

SQ² = PQ² – PS²

d² = k² – (R + r) ²

dengan:

d = panjang garis singgung persekutuan dalam

k = jarak kedua titik pusat lingkaran

R = jari-jari lingkaran pertama

r = jari-jari lingkaran kedua

Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam Segitiga

Pada subbab terakhir ini, kamu akan mempelajari tentang lingkaran yang dikaitkan dengan segitiga, yaitu lingkaran luar dan lingkaran dalam suatu segitiga.

1. Lingkaran Luar Segitiga

a. Pengertian Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang melalui semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga.

Lihat daftar gambar

Gambar tersebut menunjukkan lingkaran luar ΔABC dengan pusat O.

OA = O B = OC adalah jari-jari lingkaran dan OP = OQ = OR adalah garis sumbu sisi-sisi segitiga.

b. Melukis Lingkaran Luar

Telah disebutkan sebelumnya bahwa titik pusat lingkaran luar suatu segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisinya. Oleh karena itu, untuk dapat melukis lingkaran luar segitiga, kamu harus melukis dulu garis sumbu ketiga sisi segitiga tersebut.

Perhatikan langkah-langkah berikut.

1) Langkah 1

Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalnya ΔPQR. Kemudian, lukislah

garis sumbu PQ.

2) Langkah 2

Lukislah garis sumbu QR sehingga memotong garis sumbu PQ di titik O.

3) Langkah 3

Hubungkan O dan Q.

4) Langkah 4

Lukislah lingkaran dengan jari-jari PQ dan berpusat di O. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran luar ΔPQR.

2. Lingkaran Dalam Segitiga

a. Pengertian Lingkaran Dalam Segitiga

Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang berada di dalam segitiga dan menyinggung semua sisi segitiga tersebut. Titik pusat lingkaran merupakan titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga.

Gambar tersebut menunjukkan lingkaran dalam ΔABC dengan pusatO. Diketahui OP = OQ = OR adalah jari-jari lingkaran. Adapun AD, BE, dan EF adalah garis bagi sudut segitiga.

b. Melukis Lingkaran Dalam Segitiga

Jika titik pusat lingkaran dalam segitiga adalah titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga tersebut maka hal pertama yang harus kamu lakukan adalah menentukan titik pusatnya. Kamu tentu masih ingat bagaimana cara melukis garis bagi sudut segitiga, bukan? Materi tersebut telah kalian pelajari di Kelas VII.

Agar lebih jelas, perhatikan langkah-langkah melukis lingkaran dalam

1) Langkah 1

Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalkan ΔPQR. Kemudian, lukislah garis bagi <P.

2) Langkah 2

Lukislah garis bagi <Q sehingga memotong garis bagi <P di titik O.

3) Lagkah 3

Jari-jari diperoleh dengan cara menarik garis tegak lurus dari titik O ke

salah satu sisi segitiga. Misalnya OA, tegak lurus PQ

4) Langkah 4

Lukislah lingkaran dengan jari-jari OA dan berpusat di titik O.

5) Langkah 5

Lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam ΔPQR