MATERI MAPPING_KELAS VIII SMP SEMESTER 2

bab3

BAB 3

Bangun Ruang Sisi Datar

Di Sekolah Dasar, kamu telah mengenal bangun-bangun ruang seperti kubus, balok, dan prisma. Sekarang, materi tersebut akan kamu pelajari kembali, ditambah satu bangun ruang lagi, yaitu limas. Dalam kehidupan sehari-hari, mungkin kamu sering melihat benda-benda yang berbentuk kubus, balok, prisma, dan limas.

A. Kubus

Pernahkah kamu melihat dadu? Dadu merupakan salah satu alat permainan yang berbentuk kubus. Apa yang dimaksud dengan kubus? Coba kamu pelajari uraian berikut ini.

1. Pengertian Kubus

Perhatikan secara saksama. Gambar tersebut menunjukkan sebuah bangun ruang yang semua sisinya berbentuk persegi dan semua rusuknya sama panjang. Bangun ruang seperti itu dinamakan kubus. Gambar tersebut menunjukkan sebuah kubus ABCD.EFGH yang memiliki unsur-unsur sebagai berikut.

a. Sisi/Bidang

Sisi kubus adalah bidang yang membatasi kubus. Dari gambar tersebut terlihat bahwa kubus memiliki 6 buah sisi yang semuanya berbentuk persegi, yaitu ABCD (sisi bawah), EFGH (sisi atas), ABFE (sisi depan), CDHG (sisi belakang), BCGF (sisi samping kiri), dan ADHE (sisi samping kanan).

b. Rusuk

Rusuk kubus adalah garis potong antara dua sisi bidang kubus dan terlihat seperti kerangka yang menyusun kubus. Coba perhatikan kembali Gambar 8.2. Kubus ABCD.EFGH memiliki 12 buah rusuk, yaitu AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG, dan DH.

c. Titik Sudut

Titik sudut kubus adalah titik potong antara dua rusuk. Dari gambar, terlihat kubus ABCD. EFGH memiliki 8 buah titik sudut, yaitu titik A, B, C, D, E, F, G, dan H. Selain ketiga unsur di atas, kubus juga memiliki diagonal. Diagonal pada kubus ada tiga, yaitu diagonal bidang, diagonal ruang, dan bidang diagonal.

d. Diagonal Bidang

Coba kamu perhatikan kubus ABCD.EFGH pada Gambar no 2 . Pada kubus tersebut terdapat garis AF yang menghubungkan dua titik sudut yang saling berhadapan dalam satu sisi/bidang. Ruas garis tersebut dinamakan sebagai diagonal bidang.

e. Diagonal Ruang

Sekarang perhatikan kubus ABCD.EFGH pada Gambar no 3 . Pada kubus tersebut, terdapat ruas garis HB yang menghubungkan dua titik sudut yang saling berhadapan dalam satu ruang. Ruas garis tersebut disebut diagonal ruang.

f. Bidang Diagonal

Perhatikan kubus ABCD.EFGH pada Gambar no 4 secara saksama. Pada gambar tersebut, terlihat dua buah diagonal bidang pada kubus ABCD.EFGH yaitu AC dan EG. Ternyata, diagonal bidang AC dan EG beserta dua rusuk kubus yang sejajar, yaitu AE dan CG membentuk suatu bidang di dalam ruang kubus bidang ACGE pada kubus ABCD. Bidang ACGE disebut sebagai bidang diagonal. Coba kamu sebutkan bidang diagonal lain dari kubus ABCD.EFGH.

2. Sifat-Sifat Kubus

Untuk memahami sifat-sifat kubus, pelajari uaraian berikut :

a. Semua sisi kubus berbentuk persegi.

Jika diperhatikan, sisi ABCD, EFGH, ABFE dan seterusnya memilikin bentuk persegi dan me miliki luas yang sama.

b. Semua rusuk kubus berukuran sama panjang.

Rusuk-rusuk kubus AB, BC, CD, dan seterusnya memiliki ukuran yang sama panjang

c. Setiap diagonal bidang pada kubus memiliki ukuran yang sama panjang.

Perhatikan ruas garis BG dan CF pada Gambar. Kedua garis tersebut merupakan diagonal bidang kubus ABCD.EFGH yang memiliki ukuran sama panjang.

d. Setiap diagonal ruang pada kubus memiliki ukuran sama panjang.

Dari kubus ABCD.EFGH pada gambar, terdapat dua diagonal ruang, yaitu HB dan DF yang keduanya berukuran sama panjang.

e. Setiap bidang diagonal pada kubus memiliki bentuk persegipanjang.

Perhatikan bidang diagonal ACGE pada gambar. Terlihat dengan jelas bahwa bidang diagonal tersebut memiliki bentuk

3. Menggambar Kubus

Kamu telah memahami pengertian, unsur, dan sifat-sifat kubus. Sekarang, bagaimana cara menggambarnya? Menggambar bangun ruang khususnya kubus, lebih mudah dilakukan pada kertas berpetak. Adapun langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut.

• Gambarlah sebuah persegi, misalkan persegi ABFE yang berperan sebagai sisi depan. Bidang ABFE ini disebut sebagai bidang frontal, artinya bidang yang dibuat sesuai dengan bentuk sebenarnya. Coba perhatikan gambar (a) .

• Langkah selanjutnya, buatlah ruas garis yang sejajar dan sama panjang dari setiap sudut persegi yang telah dibuat sebelumnya. Panjang ruasruas garis tersebut kurang lebih setengah dari panjang sisi persegi dengan kemiringan kurang lebih 45°. Perhatikan gambar (b) . Garis AD digambar putus-putus, ini menunjukkan bahwa ruas garis tersebut terletak di belakang persegi ABFE.

• Kemudian, buatlah persegi dengan cara meng hubungkan ujung-ujung ruas garis yang telah dibuat sebelumnya. Beri nama persegi CDHG. Persegi tersebut berperan sebagai sisi belakang dari kubus yang akan dibuat. Coba perhatikan gambar (c) . Pada gambar tersebut, terlihat bahwa sisi atas, sisi bawah, dan sisi samping digambarkan berbentuk jajargenjang. Bidang seperti ini disebut bidang ortogonal, artinya bidang yang digambar tidak sesuai dengan keadaan sebenarnya.

4. Jaring-Jaring Kubus

Untuk mengetahui jaring-jaring kubus, lakukan kegiatan berikut :

1) Siapkan tiga buah dus yang berbentuk kubus, gunting, dan spidol

2) Ambil salah satu dus. Beri nama setiap sudutnya, misalnya ABCD.EFGH. Kemudian, irislah beberapa rusuknya mengikuti alur seperti pada gambar

3) Rebahkan dus yang telah diiris tadi. Bagaimanakah bentuknya?

4) Lakukan hal yang sama pada dua dus yang tersisa. Kali ini, buatlah alur yang berbeda, kemudian rebahkan. Bagaimana bentuknya?

Jika kamu melakukan kegiatan tersebut dengan benar, pada dus pertama akan diperoleh bentuk berikut.

Jadi dapat disimpulkan bahwa :

Jaring-jaring kubus adalah rangkaian sisi-sisi suatu kubus yang jika dipadukan akan membentuk suatu kubus. Terdapat berbagai macam bentuk jaring-jaring kubus.

5. Luas Permukaan Kubus

Untuk mencari luas permukaan kubus, berarti sama saja dengan menghitung luas jaring-jaring kubus tersebut. Oleh karena jaring-jaring kubus merupakan 6 buah persegi yang sama dan kongruen maka

luas permukaan kubus = luas jaring-jaring kubus

= 6 × (s × s)

= 6 × s²

= L

= 6 s²

Jadi, luas permukaan kubus dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :

Luas permukaan kubus = 6s²

6. Volume Kubus

volume atau isi suatu kubus dapat ditentukan dengan cara mengalikan panjang rusuk kubus tersebut sebanyak tiga kali. sehingga

volume kubus = panjang rusuk × panjang rusuk × panjang rusuk

= s × s × s

= s3

Jadi, volume kubus dapat dinyatakan sebagai berikut :

Volume kubus = s³

B. Balok

Banyak sekali benda-benda di sekitarmu yang memiliki bentuk seperti balok. Misalnya, kotak korek api, dus air mineral, dus mie instan, batu bata, dan lain-lain. Mengapa benda-benda tersebut dikatakan berbentuk balok? Untuk menjawabnya, cobalah perhatikan dan pelajari uraian berikut.

1. Pengertian Balok

Balok merupakan bangun ruang yang semua sisinya berbentuk persegi panjang. Bangun ruang seperti itu dinamakan balok. Gambar tersebut menunjukkan sebuah balok ABCD.EFGH yang memiliki unsur-unsur sebagai berikut.

a. Sisi/Bidang

Sisi balok adalah bidang yang membatasi suatu balok. Dari gambar, terlihat bahwa balok ABCD.EFGH memiliki 6 buah sisi berbentuk persegi panjang. Keenam sisi tersebut adalah ABCD (sisi bawah), EFGH (sisi atas), ABFE (sisi depan), DCGH (sisi belakang), BCGF (sisi samping kiri), dan ADHE (sisi samping kanan). Sebuah balok memiliki tiga pasang sisi yang berhadapan yang sama bentuk dan ukurannya. Ketiga pasang sisi tersebut adalah ABFE dengan DCGH, ABCD dengan EFGH, dan BCGF dengan ADHE.

b. Rusuk

Sama seperti dengan kubus, balok ABCD.EFGH memiliki 12 rusuk. Coba perhatikan kembali Gambar tersebut secara seksama. Rusuk-rusuk balok ABCD. EFGH adalah AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG, dan HD.

c. Titik Sudut

Dari Gambar 8.12 , terlihat bahwa balok ABCD.EFGH memiliki 8 titik sudut, yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H. Sama halnya dengan kubus, balok pun memiliki istilah diagonal bidang, diagonal ruang, dan bidang diagonal. Berikut ini adalah uraian mengenai istilah-istilah berikut.

d. Diagonal Bidang

Coba kamu perhatikan Gambar no 2 . Ruas garis AC yang melintang antara dua titik sudut yang saling berhadapan pada satu bidang, yaitu titik sudut A dan titik sudut C, dinamakan diagonal bidang balok ABCD.EFGH. Coba kamu sebutkandiagonal bidang yang lain dari balok pada Gambar no 2.

e. Diagonal Ruang

Ruas garis CE yang menghubungkan dua titik sudut C dan E pada balok ABCD.EFGH seperti pada Gambar no 3 disebut diagonal ruang balok tersebut. Jadi, diagonal ruang terbentuk dari ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang saling berhadapan di dalam suatu bangun ruang.

f. Bidang Diagonal

Sekarang, perhatikan balok ABCD.EFGH pada Gambar no 4. Dari gambar tersebut terlihat dua buah diagonal bidang yang sejajar, yaitu diagonal bidang HF dan DB. Kedua diagonal bidang tersebut beserta dua rusuk balok yang sejajar, yaitu DH dan BF membentuk sebuah bidang diagonal. Bidang BDHF adalah bidang diagonal balok ABCD.EFGH.

2. Sifat-Sifat Balok

Untuk memahami sifat-sifat kubus, dan pelajari uaraian berikut :

a. Sisi-sisi balok berbentuk persegipanjang.

Coba kamu perhatikan sisi ABCD, EFGH, ABFE, dan seterusnya. Sisi-sisi tersebut memiliki bentuk persegipanjang. Dalam balok, minimal memiliki dua pasang sisi yang berbentuk persegipanjang.

b. Rusuk-rusuk yang sejajar memiliki ukuran sama panjang.

Perhatikan rusuk-rusuk balok pada gambar disampin.g Rusuk-rusuk yang sejajar seperti AB, CD, EF, dan GH memiliki ukuran yang sama panjang begitu pula dengan rusuk AE, BF, CG, dan DH memiliki ukuran yang sama panjang.

c. Setiap diagonal bidang pada sisi yang berhadapan memiliki ukuran sama panjang.

Dari gambar terlihat bahwa panjang diagonal bidang pada sisi yang berhadapan, yaitu ABCD dengan EFGH, ABFE dengan DCGH, dan BCFG dengan ADHE memiliki ukuran yang sama panjang.

d. Setiap diagonal ruang pada balok memiliki ukuran sama panjang.

Diagonal ruang pada balok ABCD.EFGH, yaitu AG, EC, DF, dan HB memiliki panjang yang sama.

e. Setiap bidang diagonal pada balok memiliki bentuk persegipanjang.

Coba kamu perhatikan balok ABCD.EFGH pada gambar. Bidang diagonal balok EDFC memiliki bentuk persegipanjang. Begitu pula dengan bidang diagonal lainnya.

3. Jaring-jaring balok

Sama halnya dengan kubus, jaring-jaring balok diperoleh dengan cara membuka balok tersebut sehingga terlihat seluruh permukaan balok. Coba kamu perhatikan alur pembuatan jaring-jaring balok.

Jaring-jaring balok yang diperoleh pada Gambar (c) tersusun atas rangkaian 6 buah persegipanjang. Rangkaian tersebut terdiri atas tiga pasang persegipanjang yang setiap pasangannya memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Terdapat berbagai macam bentuk jaring-jaring balok.

4. Luas Permukaan Balok

Cara menghitung luas permukaan balok sama dengan cara menghitung luas permukaan kubus, yaitu dengan menghitung semua luas jaring-jaringnya. Misalkan, rusuk-rusuk pada balok diberi nama p (panjang), l (lebar), dan t (tinggi) seperti pada gambar .Denga n demikian, luas permukaan balok tersebut adalah :

luas permukaan balok = luas persegipanjang 1 + luas persegipanjang 2 + luas persegipanjang 3 + luas persegipanjang 4 + luas persegipanjang 5 + luas persegipanjang 6

= (p × l) + (p × t) + (l × t) + (p × l) + (l × t) + (p × t)

= (p × l) + (p × l) + (l × t) + (l × t) + (p × t) + (p × t)

= 2 (p × l) + 2(l × t) + 2(p × t)

= 2 ((p × l) + (l × t) + (p × t)

= 2 (pl+ lt + pt)

Jadi, luas permukaan balok dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :

Luas permukaan balok = 2(pl + lt + pt)

5. Volume Balok

Proses penurunan rumus balok memiliki cara yang sama seperti pada kubus. Caranya adalah dengan menentukan satu balok satuan yang dijadikan acuan untuk balok yang lain. Sehingga :

Volume balok = panjang × lebar × tinggi

= p × l × t

Jadi, volume kubus dapat dinyatakan sebagai berikut :

Volume balok = p x l x t

C. Prisma

1. Pengertian Prisma

Kamu tentu sudah melihat benda-benda seperti sepotong kue dan kotak kado. Benda-benda tersebut memiliki bentuk yang sangat unik. Berbeda dengan kubus dan balok, bangun ruang ini memiliki kekhasan tersendiri. Coba perhatikan bangun ruang tersebut memiliki bentuk alas dan atap yang sama bentuk dan aturannya. Selain itu, semua sisi bagian samping berbentuk persegipanjang bangun ruang ini dinamakan prisma. Unsur-unsur apa saja yang dimiliki oleh prisma.

a. Sisi/Bidang

Terdapat 8 sisi atau bidang yang dimiliki oleh prisma segienam, yaitu ABCDEF (sisi alas), GHIJKL (sisi atas), BCIH (sisi depan), FEKL (sisi belakang), ABHG (sisi depan kanan), AFLG (sisi belakang kanan), CDJI (sisi depan kiri), dan DEKJ (sisi belakang kiri).

b. Rusuk

Dari Gambar no 1 , terlihat bahwa prisma segienam ABCDEF.GHIJKL memiliki 18 rusuk, 6 di antaranya adalah rusuk tegak. Rusuk-rusuk tersebut adalah AB, BC, CD, DE, EF, FA, GH, HI, IJ, JK, KL, LG, dan rusuk-rusuk tegaknya adalah AG, BH, CI, DJ, EK, FL.

c. Titik Sudut

Prisma segienam ABCDEF.GHIJKL memiliki 12 titik sudut. Dari Gambar no 1, terlihat bahwa titik-titik sudut tersebut adalah A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, dan L. Selain unsur-unsur yang telah disebutkan, prisma pun memiliki istilah diagonal bidang dan bidang diagonal. Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan dan pelajari uraian berikut.

d. Diagonal Bidang

Coba kamu perhatikan prisma segienam ABCDEF. GHIJKL pada Gambar no 2. Dari gambar tersebut terlihat ruas garis BG yang terletak di sisi depan kanan (sisi tegak) ditarik dari dua titik sudut yang saling berhadapan sehingga ruas garis BG disebut sebagai diagonal bidang pada bidang prisma segienam ABCDEF. GHIJKL. Begitu pula dengan ruas garis CJ pada bidang CDIJ. Ruas garis tersebut merupakan diagonal bidang pada prisma segienam ABCDEF. GHIJKL. Coba kamu sebutkan diagonal bidang yang lain dari prisma segienam pada no 2 .

e. Bidang Diagonal

Sekarang, coba kamu perhatikan prisma segienam ABCDEF.GHIJKL pada Gambar no 3 . Pada prisma segienam tersebut, terdapat dua buah diagonal bidang yang sejajar yaitu BI dan FK. Kedua diagonal bidang tersebut beserta ruas garis KI dan FB membentuk suatu bidang di dalam prisma segienam ABCDEF.GHIJKL. Bidang tersebut adalah bidang BFKI yang merupakan bidang diagonal prisma segienam. Coba kamu sebutkan bidang diagonal yang lain dari prisma segienam pada Gambar no 3.

2. Sifat-Sifat Prisma

a. Prisma memiliki bentuk alas dan atap yang kongruen.

Pada gambar terlihat bahwa segitiga ABC dan DEF memiliki ukuran dan bentuk yang sama.

b. Setiap sisi bagian samping prisma berbentuk persegipanjang.

Prisma segitiga pada gambar dibatasi oleh tiga persegipanjang di setiap sisi sampingnya, yaitu ABED, BCFE, dan ACFD.

c. Prisma memiliki rusuk tegak.

Perhatikan prisma segitiga pada gambar. Prisma tersebut memiliki tiga buah rusuk tegak, yaitu AD, BE, dan CF. Rusuk tersebut dikatakan tegak karena letaknya tegak lurus terhadap bidang alas dan atas. Dalam kondisi lain, ada juga prisma yang rusuknya tidak tegak, prisma tersebut disebut prisma sisi miring.

d. Setiap diagonal bidang pada sisi yang sama memiliki ukuran yang sama.

Prisma segitiga ABC.DEF pada gambar diagonal bidang pada sisi ABED memiliki ukuran yang sama panjang. Perhatikan bahwa AE = BD, BF = CE, dan AF = CD.

3. Menggambar Prisma

Sama seperti menggambar kubus dan balok, menggambar prisma pun akan lebih baik dilakukan pada kertas berpetak. Misalkan, prisma yang digambar adalah prisma segitiga. Berikut ini adalah langkah-langkah yang harus dilakukan dalam menggambar prisma segitiga.

a. Langkah pertama,

Gambarlah sebuah segitiga, baik segitiga siku-siku, sama sisi, sama kaki, maupun segitiga sebarang. Segitiga tersebut berperan sebagai sisi atas dari sebuah prisma. (a), segitiga yang dibuat adalah segitiga ABC (segitiga sebarang).

b. Langkah kedua

Kemudian, dari setiap ujung segitiga ABC, yaitu titik A, B, dan C, dibuat garis lurus dengan arah vertikal. Pada Gambar 8.22 (b) , terlihat ada tiga ruas garis yang ditarik dari ujung-ujung segitiga ABC. Tiga ruas garis itu adalah ruas garis AD, BE, dan CF yang semuanya memiliki ukuran sama panjang. Tiga ruas tersebut merupakan rusuk tegak dari prisma yang akan dibuat.

c. Langkah ketiga

Hubungkan ujung ruas garis yang telah dibuat. Hasilnya adalah sebuah sisi/bidang DEF yang merupakan sisi alas dari prisma segitiga. Perlu diingat garis DF digambar putus-putus karena garis tersebut terletak di belakang prisma.

4. Jaring-jaring Prisma

Jaring-jaring prisma diperoleh dengan cara mengiris beberapa rusuk prisma tersebut sedemikian sehingga seluruh permukaan prisma terlihat. Misalkan, prisma yang akan dibuat jaring-jaringnya adalah prisma segitiga. Berikut ini adalah alur pembuatan jaring-jaring prisma segitiga.

5. Luas Permukaan Prisma

Sama seperti kubus dan balok, luas permukaan prisma dapat dihitung menggunakan jaring-jaring prisma tersebut. Caranya adalah dengan menjumlahkan semua luas bangun datar pada jaring-jaring prisma.

Dari Gambar tersebut terlihat bahwa prisma segitiga ABC.DEF memiliki sepasang segitiga yang identik dan tiga buah persegipanjang sebagai sisi tegak. Dengan demikian, luas permukaan prisma segitiga tersebut adalah :

luas permukaan prisma = luas ΔABC + luas ΔDEF + luas EDAB + luas

DFCA + luas FEBC

= 2 · luas ΔABC + luas EDBA + luas DFAC + luas FEBC

= (2 · luas alas) + (luas bidang-bidang tegak)

Jadi, luas permukaan dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :

Luas permukaan prisma = 2 · luas alas + luas bidang-bidang tegak

6. Volume Prisma

Gambar tersebut memperlihatkan sebuah balok ABCD.EFGH yang dibagi dua secara melintang. Ternyata, hasil belahan balok tersebut membentuk prisma segitiga, seperti pada gambar (b). Perhatikan prisma segitiga BCD.FGH pada gambar (c) . Dengan demikian, volume prisma segitiga adalah setengah kali volume balok.

Volume prisma BCD.FGH = × volume balok ABCD.EFGH

= × (p × l × t)

= ( × p × l) × t

= luas alas × tinggi

Jadi, volume prisma dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :

Volume prisma = luas alas × tinggi

D. Limas

Kamu pasti telah mengenal bangunan piramida di Mesir, bukan? Kamu mungkin juga telah melihatnya, baik itu dari atlas, buku pelajaran, televisi, ataupun melihatnya langsung. Sebagai salah satu keajaiban dunia, piramida digunakan sebagai makam raja-raja Firaun pada jaman dahulu. Piramid tersebut merupakan salah satu contoh benda berbentuk limas.

1. Pengertian Limas

Lihat daftar gambar

Jika digambarkan ke dalam bentuk geometri, bangunan piramida pada akan tampak seperti gambar . Bangun ruang tersebut memiliki 5 buah sisi dan memiliki titik puncak. Berbeda halnya dengan prisma yang memiliki bidang samping berbentuk persegi panjang, bangun ruang tersebut memiliki bidang samping yang berbentuk segitiga. Bangun ruang tersebut disebut limas segiempat. Gambar tersebut menunjukan sebuah limas segiempat E. ABCD . Berdasarkan bentuk alasnya, limas memiliki berbagai macam nama. Perhatikan gambar tersebut dengan saksama. Limas-limas yang ditunjukkan pada gambar tersebut berturut-turut adalah limas segitiga, limas segilima, dan limas segienam. Secara umum, unsurunsur yang dimiliki oleh sebuah limas sebagai berikut.

a. Sisi/Bidang

Coba kamu perhatikan lagi bentuk limas pada gambar 1 . Dari gambar tersebut, terlihat bahwa setiap limas memiliki sisi samping yang berbentuk segitiga. Pada limas segiempat E.ABCD, sisi-sisi yang terbentuk adalah sisi ABCD (sisi alas), ABE (sisi depan), DCE (sisi belakang), BCE (sisi samping kiri), dan ADE (sisi samping kanan).

b. Rusuk

Perhatikan kembali limas segiempat E.ABCD pada gambar 1. Limas tersebut memiliki 4 rusuk alas dan 4 rusuk tegak. Rusuk alasnya adalah AB, BC, CD, dan DA. Adapun rusuk tegaknya adalah AE, BE, CE, dan DE.

c. Titik Sudut

Jumlah titik sudut suatu limas sangat bergantung pada bentuk alasnya. Setiap limas memiliki titik puncak (titik yang letaknya atas). Coba kamu perhatikan limas-limas pada gambar 1 dan gambar 2 . Limas segitiga memiliki 4 titik sudut, limas segiempat memiliki 5 titik sudut, limas segilima memiliki 6 titik sudut, dan limas segienam memiliki 7 titik sudut.

2. Sifat-Sifat Limas

Untuk bentuk limas tertentu, misalnya limas segitiga atau limas segiempat, ada beberapa sifat yang perlu kamu ketahui. gambar (a) menunjukkan sebuah limas segitiga D.ABC. Pada limas segitiga D. ABC, semua sisi limas tersebut berbentuk segitiga. Coba kamu amati sisi-sisi limas ABC, ABD, BCD, dan ACD. Semuanya berbentuk segitiga. Jika limas segitiga memiliki semua sisi yang berbentuk segitiga samasisi, maka limas tersebut disebut limas segitiga beraturan. Perhatikan limas segiempat E. ABCD pada gambar (b) di samping. Dari gambar tersebut terlihat bahwa limas segiempat memiliki alas berbentuk persegipanjang. Sesuai dengan sifatnya, setiap diagonal persegipanjang memiliki ukuran yang sama gambar (b) , panjang diagonal alas AC dan BD memiliki ukuran yang sama panjang.

3. Menggambar Limas

Secara umum yang perlu diperhatikan dalam proses menggambar limas adalah alasnya. Jadi, yang pertama kali dibuat adalah alas limas tersebut. Misalkan limas yang akan dibuat adalah limas segiempat. Langkah-langkah yang harus dilakukan dalam menggambar limas adalah sebagai berikut :

a. Langkah pertama

Buatlah persegipanjang yang akan dijadikan alas limas. Gambar (a) menunjukkan persegipanjang ABCD yang akan dijadikan alas limas. Persegipanjang tersebut digambarkan menyerupai jajargenjang. Hal ini disebabkan karena bidang ABCD termasuk bidang ortogonal.

b. Langkah kedua

Buatlah garis diagonal pada bidang ABCD yang telah kamu buat. Dari gambar (b), terlihat bahwa garis diagonal yang dimaksud adalah AC dan BD.

c. Langkah ketiga

Dari titik potong dua diagonal yang telah dibuat, misalkan titik O, buatlah ruas garis yang tegak lurus dengan bidang alas ABCD. Ruas garis ini, yaitu ruas garis OE merupakan tinggi limas yang akan dibuat. Perhatikan gambar (c) . Titik E merupakan titik puncak limas yang akan dibuat.

d. Langkah terakhir

Membuat ruas garis dari setiap ujung bidang alas limas, yaitu titik A, B, C, dan D ke titik puncak limas (titik E). Dari gambar(d) terlihat bahwa ada 4 ruas garis yang dibuat, yaitu ruas garis AE, BE, CE, dan DE.

4. Jaring-Jaring Limas

Seperti bangun ruang lainnya, jaring-jaring limas diperoleh dengan mengiris beberapa rusuknya, kemudian direbahkan.

5. Luas Permukaan Limas

Sama halnya dengan prisma, luas permukaan limas pun dapat diperoleh dengan cara menentukan jaring-jaring limas tersebut. Kemudian, menjumlahkan luas bangun datar dari jaring-jaring yang terbentuk. Untuk lebih jelasnya, coba kamu pelajari uraian berikut.

Lihat daftar gambar

Gambar tersebut memperlihatkan sebuah limas segiempat E.ABCD beserta jaring-jaringnya. Dengan demikian, luas permukaan limas tersebut adalah sebagai berikut.

Luas permukaan limas E. ABCD = luas ABCD + luas ΔABE + luas ΔBCE

+ luas ΔCDE + luas ΔADE

= luas ABCD + (luas ΔABE + luas ΔBCE + luas ΔCDE + luas ΔADE)

Secara umum, luas permukaan limas adalah sebagai berikut :

Luas permukaan limas = luas alas + jumlah luas sisi-sisi tegak

6. Volume Limas

Lihat daftar gambar

Gambar tersebut menunjukkan sebuah kubus ABCD.EFGH. Kubus tersebut memiliki 4 buah diagonal ruang yang saling berpotongan di titik O. Jika diamati secara cermat, keempat diagonal ruang tersebut membentuk 6 buah limas segiempat, yaitu limas segiempat O.ABCD, O.EFGH, O.ABFE, O.BCGF, O.CDHG, dan O.DAEH. Dengan demikian, volume kubus ABCD. EFGH merupakan gabungan volume keenam limas tersebut :

6 × volume limas O.ABCD = volume kubus ABCD.EFGH

volume limas O.ABCD = × AB × BC × CG

= × s × s × s

= × × s

= × ×

= × ×

=× ×

Oleh karena merupakan luas alas kubus ABCD.EFGH dan merupakan tinggi limas O.ABCD maka :

Volume limas O.ABCD =× ×

= × luas alas limas × tinggi limas

Jadi, rumus volume limas dapat dinyatakan sebagai berikut :

Volume limas =× luas alas × tinggi

BAB 2

Garis Singgung Lingkaran

Lingkaran mungkin merupakan salah satu bentuk bangun datar yang paling terkenal. Konsep lingkaran yang meliputi unsur-unsur lingkaran, luas lingkaran, dan keliling lingkaran sudah kamu pelajari sejak Sekolah Dasar. Banyak benda-benda di sekitarmu yang tanpa kamu sadari sebenarnya menggunakan konsep lingkaran. Misalnya, rantai sepeda, katrol timba, subwoofer, hingga alat-alat musik seperti drum, banjo, dan kerincing. ada bab ini, kamu akan mempelajari salah satu konsep penting tentang lingkaran, yaitu garis singgung lingkaran.

A. Pengertian Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik tersebut dinamakan titik singgung lingkaran.

Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya.

2. Melukis Garis Singgung

Sebelum melukis garis singgung lingkaran, pastikan kamu telah memiliki jangka dan penggaris sebagai alat bantu. Perhatikan uraian berikut.

a. Garis Singgung Melalui Satu Titik pada Lingkaran

Sebelumnya telah dijelaskan bahwa garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya. Oleh karena itu, melukis garis singgung lingkaran di titik singgung P sama saja dengan melukis garis yang tegak lurus terhadap jari-jari OP. Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung lingkaran melalui

1) Langkah 1

Buatlah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari OP yang diperpanjang

hingga titik Q

2) Langkah 2

Buatlah busur dengan pusat P yang memotong ruas OP dan PQ di titik

A dan B.

3) Langkah 3

Buatlah busur dengan pusat A dan B sehingga berpotongan di titik C. Ingat, jari-jarinya harus sama.

4) Langkah 4

Hubungkan titik C dan P sehingga membentuk garis CP. Garis inilah

yang disebut garis singgung g yang melalui titik P pada lingkaran dengan

pusat O.

Lihat di daftar gambar

Ternyata, kita hanya dapat membuat satu buah garis singgung lingkaran

di titik P. Hal ini membuktikan sifat garis singgung lingkaran pada bagian sebelumnya

b. Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

Sekarang, kamu akan melukis garis singgung yang melalui titik di luar

lingkaran. Perhatikan langkah-langkah berikut dengan baik.

1) Langkah 1

Buatlah sebuah lingkaran dengan pusat O. Hubungkan O dengan titik T

yang terletak di luar lingkaran.

2) Langkah 2

Bagilah garis OT menjadi dua ruas garis yang sama panjang dengan

menempat kan titik M sebagai titik tengah, sehingga OM = MT.

3) Langkah 3

Buatlah busur lingkaran dengan pusat M dan jari-jari OM sehingga memotong lingkaran dengan pusat O di titik A dan B.

4) Langkah

Hubungkan titik A dengan T dan titik B dengan T sehingga diperoleh AT dan BT, yaitu pasangan garis singgung yang melalui titik T.

Garis Singgung Dua Lingkaran

Kamu tentu sudah sering melihat sepeda. Apabila kamu amati rantai roda sepeda, tampak bahwa rantai itu melilit dua roda bergerigi yang berbeda ukuran. Dua roda bergerigi tersebut dapat dianggap sebagai dua lingkaran dan rantai sepeda sebagai garis singgung persekutuan lingkaran.

Dengan demikian, garis singgung persekutuan dapat diartikan sebagai garis yang tepat menyinggung dua lingkaran.

1. Kedudukan Dua lingkaran

Secara umum, kedudukan dua lingkaran dapat dikelompokkan menjadi tiga jenis, yaitu dua lingkaran bersinggungan, berpotongan, dan saling lepas.

a. Dua Lingkaran Bersinggungan

Lihat daftar gambar

Gambar (a) memperlihatkan dua lingkaran yang bersinggungan di dalam. Untuk kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis singgung persekutan luar, yaitu k dengan titik singgung A.

Gambar (b) memperlihatkan dua lingkaran yang bersinggungan di luar. Dalam kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis singgung persekutuan dalam, yaitu n dan dua garis singgung persekutuan luar, yaitu l dan m.

b. Dua Lingkaran Berpotongan

Lihat daftar gambar

Dua lingkaran yang berpotongan seperti yang ditunjukkan oleh gambar mempunyai dua garis singgung persekutuan luar, yaitu r dan s.

c. Dua Lingkaran Saling Lepas

Lihat daftar gambar

Gambar tersebut memperlihatkan dua lingkaran yang saling lepas atau terpisah.

Dalam kedudukan seperti ini, dapat dibuat dua garis persekutuan luar, yaitu

k dan l dan dua garis persekutuan dalam, yaitu m dan n.

2. Garis Singgung Persekutuan Luar

a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar

Misalnya terdapat dua lingkaran saling lepas dengan pusat P dan Q serta jarijari

R dan r. Bagaimana cara melukis garis singgung persekutuan luar dari lingkaran P dan Q tersebut? Pelajarilah langkah-langkah berikut.

1) Langkah 1

Buatlah dua lingkaran dengan pusat P dan Q serta jari-jari R dan r (r <>Kemudian, hubungkan kedua titik pusatnya.

2) Langkah 2

Buatlah busur lingkaran sebarang yang berpusat di P dan Q dengann jari-jari yang sama dan panjangnya harus lebih besar dari PQ, sehingga berpotongan di titik M dan N.

3) Langkah 3

Hubungkan M dan N sehingga memotong PQ di titik T.

4) Langkah 4

Gambar lingkaran yang berpusat di titik T dengan jari-jari PT.

5) Langkah 5

Lukislah busur lingkaran yang berpusat di titik P dengan jari-jari R – r sehingga memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan B.

6) Langkah 6

Hubungkan P dengan A dan P dengan B, kemudian perpanjang kedua garis tersebut sehingga memotong lingkaran yang berpusat di P pada titik C dan D.

7) Langkah 7

Lukislah busur lingkaran dengan pusat di C dan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q di titik E. Lukislah busur lingkaran dengan pusat di D dan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q di titik F.

8) Langkah 8

Langkah terakhir adalah menghubungkan C dengan E dan D dengan F. Garis CE dan DF adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di P dan Q. Lihat daftar gambar

b. Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar

Lihat daftar gambar

• Garis AB merupakan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di P dan Q.

• R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran pertama. r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau lingkaran kedua.

• l adalah panjang garis singgung persekutuan luar AB.

• k adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q.

• SQ merupakan translasi dari AB, sehingga panjang AB = panjang SQ = l.

Panjang SP = AP – BQ = R – r.

• AB sejajar SQ sehingga – BAP = – QSP = 90˚ (sehadap)

• Sekarang, perhatikan ΔSPQ. Oleh karena – QSP = 90˚ maka kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang SQ.

ΔSPQ siku-siku di S sehingga

PQ² = SQ² + SP²

SQ² = PQ² – SP²

l² = k² – (R – r) ; R > r

l =

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah:

	l =

dengan: l = panjang garis singgung persekutuan luar

k = jarak kedua titik pusat lingkaran

R = jari-jari lingkaran pertama

r = jari-jari lingkaran kedua

3. Garis Singgung Persekutuan Dalam

a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam

Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan dalam dua

lingkaran berikut ini.

1) Langkah 1

Lukislah dua lingkaran dengan pusat P dan Q serta jari-jari masingmasing R dan r (r < R), kemudian hubungkan kedua titik pusatnya

2) Langkah 2

Buatlah busur lingkaran yang berpusat di P dan Q dengan jari-jari yang panjangnya sama dan harus lebih besar dariPQ sehingga berpotongan di titik M dan N.

3) Langkah 3

Hubungkan M dan N sehingga memotong PQ di titik T.

4) Langkah 4

Lukislah lingkaran yang berpusat di T dengan jari-jari PT.

5) Langkah 5

Lukislah busur lingkaran yang berpusat di P dan berjari-jari R + r sehingga memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan B.

6) Langkah 6

Hubungkan titik pusat P dengan A dan P dengan B sehingga memotong lingkaran dengan pusat P di titik C dan D.

7) Langkah 7

• Lukislah busur lingkaran dari C dengan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q pada titik E.

• Lukislah busur lingkaran dari D dengan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q pada titik F.

8) Langkah 8

Terakhir, hubungkan C dengan E dan D dengan F. Garis CE dan DF adalahgaris singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di P dan Q.

b. Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Dala

• Garis AB merupakan garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di P dan di Q.

• R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran pertama dan r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau lingkaran kedua.

PS = AS + AP = BQ + AP = r + R = R + r.

• d adalah panjang garis singgung persekutuan dalam AB.

• k adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q.

• SQ merupakan translasi dari AB, sehingga SQ sejajar AB dan panjang

SQ = panjang AB = d.

• Oleh karena SQ sejajar AB maka – PSQ = – PAB = 90˚.

• Sekarang perhatikan ΔPSQ.

Oleh karena ΔPSQ merupakan segitiga siku-siku dengan – PSQ = 90˚

maka kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang SQ.

PQ²= PS²+ SQ²

SQ² = PQ² – PS²

d² = k² – (R + r) ²

dengan:

d = panjang garis singgung persekutuan dalam

k = jarak kedua titik pusat lingkaran

R = jari-jari lingkaran pertama

r = jari-jari lingkaran kedua

Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam Segitiga

Pada subbab terakhir ini, kamu akan mempelajari tentang lingkaran yang dikaitkan dengan segitiga, yaitu lingkaran luar dan lingkaran dalam suatu segitiga.

1. Lingkaran Luar Segitiga

a. Pengertian Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang melalui semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga.

Lihat daftar gambar

Gambar tersebut menunjukkan lingkaran luar ΔABC dengan pusat O.

OA = O B = OC adalah jari-jari lingkaran dan OP = OQ = OR adalah garis sumbu sisi-sisi segitiga.

b. Melukis Lingkaran Luar

Telah disebutkan sebelumnya bahwa titik pusat lingkaran luar suatu segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisinya. Oleh karena itu, untuk dapat melukis lingkaran luar segitiga, kamu harus melukis dulu garis sumbu ketiga sisi segitiga tersebut.

Perhatikan langkah-langkah berikut.

1) Langkah 1

Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalnya ΔPQR. Kemudian, lukislah

garis sumbu PQ.

2) Langkah 2

Lukislah garis sumbu QR sehingga memotong garis sumbu PQ di titik O.

3) Langkah 3

Hubungkan O dan Q.

4) Langkah 4

Lukislah lingkaran dengan jari-jari PQ dan berpusat di O. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran luar ΔPQR.

2. Lingkaran Dalam Segitiga

a. Pengertian Lingkaran Dalam Segitiga

Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang berada di dalam segitiga dan menyinggung semua sisi segitiga tersebut. Titik pusat lingkaran merupakan titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga.

Gambar tersebut menunjukkan lingkaran dalam ΔABC dengan pusatO. Diketahui OP = OQ = OR adalah jari-jari lingkaran. Adapun AD, BE, dan EF adalah garis bagi sudut segitiga.

b. Melukis Lingkaran Dalam Segitiga

Jika titik pusat lingkaran dalam segitiga adalah titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga tersebut maka hal pertama yang harus kamu lakukan adalah menentukan titik pusatnya. Kamu tentu masih ingat bagaimana cara melukis garis bagi sudut segitiga, bukan? Materi tersebut telah kalian pelajari di Kelas VII.

Agar lebih jelas, perhatikan langkah-langkah melukis lingkaran dalam

1) Langkah 1

Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalkan ΔPQR. Kemudian, lukislah garis bagi <P.

2) Langkah 2

Lukislah garis bagi <Q sehingga memotong garis bagi <P di titik O.

3) Lagkah 3

Jari-jari diperoleh dengan cara menarik garis tegak lurus dari titik O ke

salah satu sisi segitiga. Misalnya OA, tegak lurus PQ

4) Langkah 4

Lukislah lingkaran dengan jari-jari OA dan berpusat di titik O.

5) Langkah 5

Lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam ΔPQR